Ko te tino whakawhitinga. Te tatauranga o nga whakauru korekore

Ko tetahi o nga waahanga matua o te taiwhanga matatini ko te raupapa o te waahanga. Kei te hipoki i te papa nui o nga taonga, kei hea te waahanga tuatahi. Ki te whakatau i te ahua o te matua, ka whakaatuhia e te kura tuarua he maha ake o nga tumanakohanga me nga whai wahitanga, e whakaatuhia ana e te pakerau teitei ake.

Te ahua

I para tuatahi, te mea te reira wāhi rawa ki hou, te wā, engari i roto i te mahi huri i te reira i roto i taua hoki i roto i 1800 ka haere ia ki BC. Ko te whenua Maori kua whakaarohia ko Ihipa, no te mea kaore i kitea e matou i mua ake nei te whakaatu o tona oranga. Ko ia, na te kore o nga korero, i whakaritea tenei wa katoa hei tohu. I whakapumautia ano e ia te taumata o te whakawhanaketanga o te pütaiao i roto i nga iwi o aua wa. Hei whakamutunga, ka kitea nga mahi i nga pāngarau Kariki onamata, teiti i te BC rautau 4. I korerohia e ratou tetahi tikanga i whakamahia ai tetahi waahanga kore roa, ko te waainga ko te kimi i te ruri, te rohe ranei o te ahua o te pikitia (pikitia e toru me te waahanga-rua). Ko te kaupapa o te tatauranga i whakaritea i runga i te wehenga o te ahua taketake ki nga waahanga tawhito, mehemea ka mohiohia te ruri (rohe) o aua waa. I te wa o te wa, ka tipu te tikanga, ka whakamahia e Archimedes hei kimi i te waahanga o te parapara. Ko nga tatauranga rite tonu i mahia i te wa ano e nga kaitaiao i roto i Haina tawhito, ahakoa he tino motuhake ratou i nga teina Kariki i roto i te hangarau.

Te whanaketanga

Ko te waahanga i muri mai i te rau tau 1300 AD ko te mahi a Ara Ali al-Basri o Arapi "o te ao", nana i whakawhānui nga rohe o nga mea kua mohiohia, na te tango i runga i te waahanga whakauru mo te tautuhi i nga raupapa o te raupapa me te nui o nga mana mai i te tuatahi ki te wha, Tikanga o te whakauru matatiki.
Ko nga hinengaro hou o te ao nei ka whakanui i nga mahi a nga Ihipiana o mua i nga hanganga whakamiharo nui, kaore ano he waahanga motuhake, engari ko o raatau ake ringaringa, engari kaore i te kaha o nga hinengaro o nga waiota o taua wa ka iti rawa te mana? Ki te rite ki nga wa o tenei wa, ko te ahua o te ahua o te ora, engari ko te otinga o nga whakauru i tutuki noa i puta mai i nga wahi katoa, i whakamahia hoki hei whakahaere mo te whanaketanga.

ka mau te mahi i muri wahi i roto i te rau tau XVI, ka te mathematician Itari Cavalieri kawea tikanga wehewehe, i tangohia ake Per Ferma. Ko enei tangata e rua i whakatakoto i te turanga mo te waahanga hou hou e mohiotia ana i tenei wa. I honohia e ratou nga ariä o te rerekëtanga me te whakauru, i kitea i mua ko nga wae motuhake. I te nui, i tohatohahia nga pangarau o aua wa, ko nga matatiki o nga whakatau i puta i a ratau, he iti noa te waahanga o te tono. Way ki te whakakotahi me te kitea whenua noa i anake te pono i te kau, whakawhetai ki a ia, te hou tātaritanga pāngarau i te whai wāhi ki te tupu me te whakawhanake.

I te wa o te wa, ka rereke nga mea katoa, me te ingoa o te mea nui. I te nui, i whakaaturia e nga kaimori, ko wai, he aha atu, hei tauira, ka whakamahia e Newton he tohu tapawha i tuhia ai e ia he mahi whakauru, he tuku noa ranei i tera taha. I haere tonu tenei whakawhitiwhiti tae noa ki te rau tau 17, i te wa i whakaurua ai e te kaimetanui rongonui a Gottfried Leibniz te tohu e maheni ana ki a tatou mo te katoa o te ariā o te tirirau matatini. Elongated "S" Kua paku e hāngai ana i runga i tenei pukapuka o te tātai reta Roma, mai tohu te moni o primitives. Ko te ingoa i hoatu ki a James Bernoulli i muri i te 15 tau.

Te whakamārama tikanga

Ko te whakawhitinga whakawhitinga kore e tika ana mo te whakamaramatanga o te aukati, na reira whakaarohia.

Ko te mahi o mua ko te mahi he rereke ki te whakawhitinga, i roto i te mahi ka kiia hoki ko te timatanga. Mena: ko te antiderivative o te mahi d ko te mahi D nana nei te whakawhitinga he v <=> V '= v. Ko te rapunga mo te antiderivative ko te tatauranga o te mea whakawhitinga kore, me te tukanga iho ko te whakauru.

Hei tauira:

Ko te mahi s (y) = y ^3, me tona S tahito (y) = (y ^4/4).

Ko te huinga o nga kaitautuhi katoa o te mahi e whakaarohia ana ko te waahanga mutungakore, ka whakahuatia penei: ∫v (x) dx.

Mai i te V (x) he waahi noa iho o te mahi taketake, kei a matou te kupu: ∫v (x) dx = V (x) + C, kei hea a C. Kei te mohio tonu te mana o te mea kaore tonu i te wa, no te mea he kore noa iho te mea.

Ngā Āhuatanga

Ko nga taonga e mau ana ki te whakauru i runga i te waahanga o te waahanga.
A feruri na i te mau tumu parau:

• Ko te whakauru o te antiderivative ko ia ano he antiderivative me te kaha tonu C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• Ko te hua o te waahanga o te mahi ko te mahi tuatahi <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• Kei te tangohia te mahinga mai i te tohu o te motuhake <=> ∫kv (x) dx = kïv (x) dx, kei hea te k;
• Ko te whakauru i tangohia mai i te moni ka rite ki te maha o nga whakauru <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Mai i nga mea whakamutunga e rua ka taea te whakaoti ko te mea whakawhitinga kore he ahora. Na tenei, kei a matou: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = kīv (y) dy + lww (y) dy.

Mo te whakatika, ka whakaarohia e matou nga tauira o nga otinga o nga whakawhitinga mutunga.

He mea tika kia kitea te tuakiri ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Mai i te tauira ka taea e tatou te whakatau: kaore e mohio ki te whakaoti i nga whakauru mutungakore? Titiro noa i te katoa o te taiao! Na konei ko nga kaupapa matua o te rapu i raro nei.

Nga tikanga me nga tauira

Hei whakaoti i te mea nui, ka taea e matou te whakamahi i nga tikanga e whai ake nei:

• Whakamahia te tepu oti;
• Whakauruhia e nga waahanga;
• Whakauru ma te huri i te taurangi;
• Ko te huihuinga i raro i te tohu o te rereke.

Ripanga

Ko te ara tinowari me te ahuareka. I tenei wa, ka taea e te kaitohutohu matatini te whakapehapeha i nga tepu tino nui, kei te whakatakotohia nga tauira taketake o nga whakauru whakaiti. I etahi atu kupu, kei reira he tauira, i puta mai i mua ia koe me koe, ka noho tonu ki te whakamahi. Anei he rarangi o nga mahinga matua o te ripanga e tata ana ki te whakatau i nga tauira katoa me te otinga:

• ∫0dy = C, i te wahi C he mea mau tonu;
• ∫dy = y + C, i reira C he mea mau tonu;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, i reira C - he tamau, a n - tau rerekē i kotahitanga;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, kei hea a C;
• ^{∫e y dy = e y + C} , i reira C - tamau;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, i reira C - tamau;
• ∫cosydy = siny + C, i reira C he mea mau tonu;
• ∫sinydy = -cosy + C, i reira C he mea mau tonu;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, i reira C - tamau;
• ∫dy / hara ² y = -ctgy + C, i reira C - tamau;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, i reira C - tamau;
• ∫chydy = shy + C, kei hea a C;
• ∫shydy = chy + C, kei hea a C kia mau tonu.

Mena e tika ana, mauhia nga huarahi e rua, kawea mai te whakauru ki te tirohanga o te ripanga me te painga ki te wikitoria. Hei tauira: ∫cos (5x -2) dx = 1/5 icos (5x-2) d (5x-2) = 1/5 x hara (5x-2) + C.

Ma te whakatau he maama ma te tauira o te ripanga kaore he kaipupuri o te 5. Ka tapiritia e matou, me te whakanui i te 1/5 i te whakarara, kia kore ai e puta ke te korero.

Te whakauru i nga waahanga

Whakaarohia nga mahi e rua - z (y) me x (y). Me noho tonu i runga i te waahanga katoa o te whakamaramatanga. Na tetahi o nga momo rereketanga kei a tatou: d (xz) = xdz + zdx. Te whakauru i nga taha e rua o te ōritetanga, ka whiwhi mātou: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Te tuhi i te whārite hua, ka whiwhi koe i tetahi tauira e whakaatu ana i te tikanga whakauru i nga waahanga: ∫zdx = zx - ∫xdz.

He aha i hiahiatia ai? Ko te meka ko etahi tauira he whai waahi ki te whakaiti, ki te korero whakaiti, ki te whakaiti i te ∫zdx ki ∫xdz, ki te mea ka tata te pito ki te puka ripa. Waihoki, ka taea te whakamahi i tenei ture kia nui ake i te kotahi, ka whakatutuki i te hua tino pai.

Me pehea te whakaoti i nga whakauru i mua i tenei ara:

• e tika ana ki te tātai i ∫ (s + 1) e ^2s dhēk

∫ (x + ^{1) e 2s DS = {z =} s + 1, DZ = DS, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} DS} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^{2 s} / 4 + C;

• Me tautuhi koe i nga mema

∫lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

Te whakarerekētanga rerekē

Ko tenei kaupapa o te whakaoti i nga whakawhitinga kore e kore e iti iho i te tono atu i nga waa o mua, ahakoa he mea uaua ake. Ko te tikanga e whai ake nei: kia V (x) te waahanga o etahi mahi v (x). I te mea ko te mea nui i roto i te tauira he mea matatini, he nui te waahi o te raruraru me te haere i te huarahi he. Hei karo i tenei, ka whakamahia te whakawhitinga mai i te taurangi x ki te z, kei te whakakotahihia te tirohanga whānui i te wa e tiakina ana te whakawhirinaki o z ki x.

I roto i ngā pāngarau, ko tenei e whai ake: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) DZ = V (z) = V (y -1 (x)), te wahi x = y ( Z) he tohu. A, o te akoranga, te kōaro mahi z = y ^-1 (x) tino whakaahua ana te hononga, me te hononga o ngā taurangi. Ko te korero nui ko te rerekētanga dx he whakakapi i te rerekētanga dz rerekē hou, mai i te whakakapi o te taurangi i roto i te huānga whakawhitinga e whakaatu ana i te whakakapi i nga wahi katoa, ehara i te mea kei roto anake.

Hei tauira:

• Me kitea ∫ (s + 1) / (s ² + 2 s - 5) dhēk

Hoatu te z whakauru = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Katahi dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Ko te hua tenei, ka whiwhi matou i te korero e whai ake nei, he mea tinowari ki te tatau:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) DS = ∫ (DZ / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• me kitea e koe i te wāhi ∫2 ^s e ^s dx

Mo te otinga, ka tuhi ano matou i te korero i roto i te ahua e whai ake nei:

^{∫2 s e s DS = ∫ (} DS 2e) s.

Ka tautuhia e a = 2e (na te whakakapi i te tautohetohe ehara i tenei waahanga, kei te tonu tonu), ka tukuna mai e matou, i te tuatahi o te titiro, he mea matatini, ki te puka ripa timatanga:

^{∫ (2e) s DS = ∫a} s DS = he s / lna + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + lne) + C = 2 ^s e ^s / (Ln2 + 1) + C.

Te tuhi i raro i te tohu o te rereke

Ma te nui, ko tenei tikanga o nga whakauru mutungakore ko te teina ruarua o te mahinga whakakapi taurangi, engari he rereke nga waahanga hoahoa. Kia whakaarohia atu he taipitopito.

Mena ki te (x) dx = V (x) + C me y = z (x), katahi (y) dy = V (y) + C.

I te wa ano, kaua tetahi e wareware i nga whakarereketanga o te waahanga iti, i roto i enei:

• Dx = d (x + a), kei hea tetahi tonu;
• Dx = (1 / a) d (ax + b), kei reira tonu te waahi, engari kaore i te rite ki te kore;
• Xdx = 1 / 2d (x2 + b);
• Sinxdx = -d (cosx);
• Cosxdx = d (sinx).

Mena ka whakaarohia e tatou te take nui ina tautuhihia e tatou he whakawhitinga kore, ka taea te whakaheke i nga tauira ki te ture whānui (x) dx = dw (x).

Hei tauira:

• Me kitea ∫ (2s + 3) ² DS, DS = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = nga / cossds = ∫d (coss) / coss = -o te | ngongo | + C.

Āwhina Online

I etahi wa, ko te harahara he waarangi ranei, he hiahia nui, ka taea e koe te whakamahi i nga tohutohu ipurangi, kaore ranei, ka whakamahi i te tatauranga o nga whakauru. Ahakoa nga tino ahuatanga katoa me te tautohetohenga o nga whakauru, kei raro o taatau otinga ki tetahi tohu whakawhitiwhiti, kei te hangaia i runga i te kaupapa "mehemea ehara ..., ka ...".

Ko te tikanga, kaore pea i te mohio ki nga tauira pakiwaitara kaore e taea te mohio, no te mea he take kei te kitea te waihanga, he "kaha" te whakauru i etahi waahanga i roto i te tukanga, no te mea kaore e taea te whakatutuki i nga huarahi o te hua. Ahakoa nga tautohetohenga katoa o tenei korero, he pono, no te mea he pangarau te matatini, he tikanga matatini, a ka whakaarohia ko tana mahi tuatahi ki te whakawhānui ake i nga rohe o nga mea e taea ana. Koinei, he tino uaua ki te piki ki runga, ki te whakawhanake i runga i nga ariu rererangi, na reira kaua e whakaaro ko nga tauira o te whakaoti i nga whakauru korekore i hoatu e matou ko te tihi o nga mea e taea ana. Engari, kia hoki mai ki te taha hangarau o te mea. Ko te iti rawa ki te tirotiro i nga kaute ka taea e koe te whakamahi i nga ratonga i tuhia ai nga mea katoa ki to maatau aroaro. Mena he hiahia mo te tautuhinga aunoa o te whakapuaki matatini, kaore e taea te tuku atu, me uru atu koe ki nga taputapu nui ake. He mea pai kia aro nui ki te taiao MatLab.

Whakamahinga

Ko te otinga o nga whakauru i te waahanga tuatahi i te wa tuatahi ka tino wehe atu i te mea pono, no te mea he uaua ki te kite i nga rarangi tono pai. Ina koa, kaore e taea te whakamahi tika i nga wa katoa, engari e whakaarohia ana he waahanga nui rawa atu i roto i te tukanga o te whakatau whakatau e whakamahia ana i roto i te mahi. Koinei, ko te whakauru he rereke rereke, na te mea e whai kaha ana ia ki te whakauru i roto i te tukanga whakaoti whārite.
Hei tohu ano, ko enei whārite he painga tika ki te otinga o nga raruraru hangarau, te tautuhi i nga whaainga me te whanaketanga ngawari - i te poto, nga mea katoa e hangaia ana i tenei wa, me te hanga i te waa kei te heke mai. Ko te mea e kore e tutuki, ko nga tauira nei i whakaarohia ki runga ake, he mea iti noa i te tuatahi o te titiro, no te mea ko te kaupapa mo te hanga i nga korero hou atu.